andante

お昼から仕事。会社の人は大掃除をしていましたが僕の属するプロジェクトの人だけ会議室でコードを書いていました。まだAutoLayoutを完全に支配したとは言い難い。

その後は仕事が納まっていないにもかかわらず忘年会で酒を飲みました。体調が懸念されたけどとりあえず大丈夫でした。でも明日も仕事だ。はー。

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昨夜書かなかったことをすこし書きましょう。まずL関数の公式は次で与えられます。

$$L(r, \chi)=\frac{1}{(r-1)!}\cdot{\left(-\frac{2\pi i}{N}\right)}^r\cdot\frac{1}{2}\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)$$

ここで$r$は自然数、$N$は2以上の自然数、$\zeta_N=e^{2\pi i/N}$、$\chi$は$\bmod N$のディリクレ指標で、$\chi(-1)={(-1)}^r$をみたすものとします。$h_r$は有理関数で、

$$\begin{align} h_1(t)&=\frac{1+t}{2(1-t)} \\ h_r(t)&={\left(t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)}^{r-1}h_1(t) \end{align}$$

で与えられます。

L関数の公式の証明には、$h_r$が

$$h_r(t)=(r-1)!\cdot{\left(-\frac{1}{2\pi i}\right)}^r\sum_{n\in\Z}\frac{1}{{(x+n)}^r}$$

と書けることが（そしてこれはsinの積公式に由来する）用いられるのですが、このとき$h_r$に現れる無限和の$n\lt 0$の部分を「折り返して」$n\gt 0$に持って行く（最終的な$L(r, \chi)$の定義は$n\ge 1$の和なのでそうする必要がある）操作が、$\chi(-1)={(-1)}^r$でなければ（$\chi$は準同型なので$\chi(-1)$は$\pm 1$しかとれない）もともとの$n\gt 0$部分と打ち消しあって0になってしまうために、この制限が要求されます。
この制限があると、たとえば$\bmod 2$の自明な指標$\chi: \{1\} \longrightarrow \C^\times$に対しては、$\chi(-1)=\chi(1)=1$であることから$r$が偶数の場合にしか適用できないことがわかります。そして、まさにこの$\chi$によって$\zeta(r)$は$L(r, \chi)$と接続されるので、奇数の$r$についてはこの方法で$\zeta(r)$を求めることはできません。

では$\chi(-1)=-{(-1)}^r$だった場合（すなわち打ち消し合ってしまった場合）にはどうなるか。この場合、得られる関係式は

$$\sum_{a\in{(\Z/N\Z)}^\times}\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)=0$$

というものになります。簡単な例では、

$$\begin{align} \chi(1)h_1(-1)&=\frac{1-1}{2(1+1)} \\ &=0 \text{ただし$\chi$は$\bmod 2$の自明な指標} \\ \xi(1)h_1(i)+\xi(3)h_1(-i)&=\frac{1+i}{2(1-i)}+\frac{1-i}{2(1+i)} \\ &=0 \text{ただし$\xi$は$\bmod 4$の指標で$\xi(1)=\xi(3)=1$} \end{align}$$

となります。

なにやら非自明な関係式が得られたような気がしましたが、実際は別にそんなことはない（すくなくとも$r=1$の場合はそうで、一般の$r$については技術不足で示していない。ちゃんと微分すれば出そう）。
まず$N=2$の場合、つまり$\chi$が$\bmod 2$の自明な指標だった場合。これは$r$が奇数の場合に条件をみたさないのだが、明らかに$h_1(-1)=0$となるし、$h_3(-1)$も0になる。その先は確かめていない。
次に$N\gt 2$の場合。この場合は$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$にわたって和をとることになるが、この項の数は偶数個となる（例外は$N=2$の場合で1のみとなる）。この個数はすなわち$N$と互いに素な数の個数だが、それはオイラーのトーティエント関数で与えられ、容易に計算でき、1以外の奇数になることはあり得ないことが示せる。
とするならば、すべての$a\in{(\Z/N\Z)}^\times$に対して対応する$(N-a)=-a\in{(\Z/N\Z)}^\times$が存在することが言える。これらの一方だけが$N$と互いに素でないという状況は起こり得ない。また$a$は偶数個あるので重複することもない。$a$についての和は２つずつの組$\chi(a)h_r({\zeta_N}^a)+\chi(-a)h_r({\zeta_N}^{-a})$の和にすることができる。$\chi(-a)=\chi(-1)\chi(a)$だから、結局これは$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^{-a})\right)$の和ということでもある。
最後に、$h_r(t)$と$h_r(t^{-1})$との関係を調べる。$h_1$については明らかに$h_1(t)=-h_1(t^{-1})$、$h_2$については$h_2(t)=h_2(t^{-1})$であり、一般の$h_r$についても$h_r(t)={(-1)}^rh_r(t^{-1})$であると予想されるがこれも証明はしていない。ともかくこれを仮定すれば、先の組は$\chi(a)\left(h_r({\zeta_N}^a)-{(-1)}^r{(-1)}^rh_r({\zeta_N}^a)\right)$となって打ち消しあって0となる。

こうして同じところに２通りの経路で至ったわけだが、結局ずっと同じ話をしていただけのような気もするし、途中で口調も変わってしまったし、これはなんだったのだろう。ともあれ、こうした計算を進めるのは数学をしている気分が高まって楽しい。

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ツイキ：そういえばblogをまたリニューアルしたいなと思いました。mroonga対応もしたいし、カレンダーが縦に長くなりすぎたなという気もするし、それから私的注釈機能もつけたい。次作る時は（技術blogでそうしたように）composerでORMとか入れていい感じにしたい。テンプレートエンジンは使えないけど……（インデントをきちんとしたい）