andante

$\Q_2$では0に、$\Q_3$では1に収束する有理数列の例を挙げよ、という演習問題があって、えーそしたら$\ord_2(x_n)$と$\ord_3(x_n-1)$がともに無限大に発散するってことじゃーんと思って、なんかガリガリ計算したらそうなる数列を構成できたのだけど、これ絶対違うよなーと思って答え見たら$2^n/(2^n+3^n)$でいいらしくってアウーとなった。というかなんで最初にここに来なかったんだ。-1したら$3^n$が出てくるのは明らかじゃないか。

ちなみに僕が構成した数列は、

$$\begin{align} a_1&=1,\ b_1=2 \\ a_{n+1}&={(2^{2b_n-1}{a_n}^2-1)}^2{a_n}^4 \\ b_{n+1}&=4b_n+2 \end{align}$$

に対し$x_n=2^{b_n}a_n$で与えられます。$x_1=4=2^2=3^1+1$, $x_2=50176=2^{10}\times 49=3^2\times 5575+1$。次はだいぶ大きくなってしまって、

$$\begin{align} x_3&=40176147763219283480744718699253989376 \\ &=2^{42}\times 9134998382073555030898369 \\ &=3^4\times 496001824237275104700552082706839375+1 \end{align}$$

です。この先は計算してません。この数列は$\ord_2(x_n)$が$O(4^n)$、$\ord_3(x_n-1)$が$O(2^n)$で下からおさえられます（こういうときはΩで書くべきなのかな？と思ったけどwikipediaによるとこの記法は分野によって解釈が違うようだ）。なので$\Q_2$で0に、$\Q_3$で1に収束。はあ。

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土曜日だけどお昼から仕事。一画面まるっと作りました。これに八時間は掛かりすぎのような気はします。UILabelではAttributedStringの両端揃えが機能しないらしくって難儀しました（UITextViewなら動いた）。あとStoryboardでUITextViewのtextContainerInsetを設定する方法とか（これは応用範囲が広そう）。そのうちblogに書こうか。

そういえばサイコパス２の最終回を観ました。うーん、１のときほどの高揚感ないなあ。

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さて、仕事が終わって帰ってくるといつも動き始めるくらいの時間になっていたのだけど、じゃあいつもはなにをしているかというとずっと寝ているわけで、僕は睡眠が足りていないのではないか。火曜日休みだし、まあいいか。

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そういえば新幹線の切符をとりました。年内のはいいのだけど年明けのがぜんぜん取れなくて焦りました。いやはや。おい、来年の僕よ、12/20では正月の切符は取れんぞ。こだまって東京大阪に四時間もかかるんですね。まあ寝てればいいか……